REALIZAR FRACTALES PASO A PASO

Construcción en Papel

Para construir el modelo de papel del conjunto de Cantor comenzamos con una hoja de papel y la doblamos longitudinalmente. Dividimos la hoja a lo largo del doblez en tres partes iguales, haciendo dos cortes de longitud la mitad de lo que queda hasta el otro lado.

Marcamos los dobleces como se ve en la figura.

Volvemos a cortar en tercios hasta la mitad en cada uno de los lados…

…y doblamos.

En cada una de las cuatro nuevas solapas, repetimos el procedimiento, cortar en tercios…

…y doblar.

Y así hasta que nos cansemos (que en nuestro caso ha sido ¡ya!). Ahora sólo hay que ir orientando los dobleces en el sentido que nos interesa. Primero, “los dobleces más grandes” los metemos “para dentro” como muestra la figura.

Desde el otro lado se ve así.

Los siguientes más grandes los doblamos en la dirección contraria.

Y los otros también (y si tuviéramos más pues también…).

Así llegamos a nuestro modelo del conjunto de Cantor hasta la tercera iteración.

Triángulo se Sierpinski:

Waclae Sierpinski (1882-1969) hizo grandes aportes a la teoria de conjuntos transfinitos, sin embargo ahora haremos mensión del triángulo que lleva su nombre y cuya particularida es que tiene área nula y perímetro infinito:

1- Tomamos un triángulo cualquiera y marcamos sus puntos medios

2- Unimos los puntos medios y resulta en 4 triángulos

3- Borramos el triangulo central

4- Marcamos el punto medio de los triangulos restantes

5- Unimos los puntos medios obteniendo 4 triángulos en cada uno

6- Borramos el triangulo central

7- Marcamos el punto medio repitiendo el proceso anterior….

CONSTRUCCIÒN EN PAPEL

Para construir el modelo de papel del triángulo de Sierpinski, comenzamos con una hoja de papel y la doblamos transversalmente.

Dividimos la hoja a lo largo del doblez en dos partes iguales, haciendo un corte de longitud la mitad de lo que queda hasta el otro lado.

Doblamos una de las mitades para marcar el doblez…

… y una vez marcado, lo metemos hacia dentro, como se ve en la figura, quedándonos una especie de escalera de dos peldaños.

En cada uno de los peldaños, repetimos la operación: corte al medio…

… marcar los dobleces…

y meterlos hacia dentro.

Y ahora lo mismo con cada uno de los 4 peldaños. Corte al medio…

… marcar los dobleces…

… y meterlos para dentro.

Venga, y una última vez. Cortar…

.. marcar…

… y doblar hacia dentro.

Y ya tienes tu triángulo de Sierpinski para poner en cualquier rincón.

FRACTAL PIRÁMIDE

1. (A) Para simplificar, supongamos que el primer corte tiene longitud 2 y el primer pliegue tiene longitud 1. Entonces, el primer corte se pliega a dos cortes, cada uno de longitud 1.

Aquí se muestra para establecer la escala de pliegues y cortes posteriores.

Estamos interesados sólo en los cortes delanteros , ilustrados por las dos líneas de puntos .

Generamos una tabla con las longitudes de los recortes delanteros.

paso	número de cortes delanteros	longitud / corte
1	1	2 = 2 1
2	3	1 = 2 0
3	9	1/2 = 2 -1
4	27	1/4 = 2 -2
	…
n	3 N-1	2 2-n

Mientras tanto con una hoja de papel vamos Generando mediante recorte el fractal

Cortar el borde doblado a lo largo de la línea de puntos por encima. El corte debe comenzar a mitad de camino hacia arriba y abajo de la tapa e ir a mitad de camino hacia la derecha a lo largo del papel doblado.Ahora dobla más de un medio y el pliegue, como se muestra.

El siguiente paso es un poco difícil, pero fundamental. Abra la solapa plegada, y doblar por dentro sí. Usted debe terminar con su papel en busca de esta manera:

Ya ha completado el paso básico para crear el corte fractal, y lo único que tienes que hacer ahora es seguir repitiendo este proceso una y otra vez.

Ahora haga dos cortes, a mitad de camino a través de cada uno de los bordes doblados. Los cortes serán la mitad del tiempo, y de nuevo los cortes deben ser a mitad de camino hacia arriba y abajo de cada borde y ve sólo la mitad de la pieza. Tenga cuidado de no cortar demasiado.

Una vez que haya realizado estos cortes, doblar sobre el y el pliegue los flaps. ¿Cómo sabes cuáles veces más? ¿Quieres terminar con algo que parece una escalera.

Después de haber doblado las solapas, hay que acordarse de abrir las solapas y plegarlas dentro de sí mismos.

Esto lo que su papel debe ser similar ahora. Repetir el mismo corte, plegado y de inversión, pero esta vez es necesario hacer cuatro cortes. Después de plegar y mover de un tirón las aletas dentro de sí mismos, que va a terminar con esto:

Si usted desea (y si usted tiene la paciencia), puede repetir este proceso una vez más, lo que hace 8 cortes. Después de cortar, doblar y que invierte, usted termina con la etapa final. (Después de este punto, hay demasiadas capas de cortar con facilidad.)

Por último, puede activar este fractal en una tarjeta de pop-up. Doble la otra hoja de papel por la mitad.Aplique el pegamento en las partes sólidas del recorte fractal, y un sándwich en el interior del papel doblado sólido.

Así que la longitud total de los recortes delanteros es

2 + 3 + 9/2 + 27/4 + … + 3n-1 22-N + …2 = (1 + (3/2) + (3/2)2 + (3/2)3 + …)

La suma entre paréntesis es una serie geométrica con una relación de 3/2, por lo que diverge.

Es decir, la colección de todos los cortes delanteros tiene longitud infinita.

Tome una hoja de papel y doblar por la mitad, por lo que parece un libro.
Continuando con este patrón, vemos la superficie está hecha de triángulos:Tras considerar estos triángulos, las tres partes restantes de la de la superficie – izquierda , derecha y arriba – cada uno contiene tres triángulos de base y de altura media .

paso	altitud (= base)	número de triángulos	área / triángulo
1	1	3	1/2
2	1/2	9 = 3 2	1/8 = 1/2 3
3	Cuarto	27 = 3 3	1/32 = 1/2 5
4	Octavo	81 = 3 4	1/128 = 1/2 7
		…
n	1/2 n-1	3 N	Medio 2n-1

En consecuencia, el área de la superficie es

(3/2) + (9/8) + (27/32) + (81/128) + … = (3/2) (1 + (3/4) + (3/4)2 + (3/4)3 + …)

La serie de paréntesis, es una serie geométrica con una relación de 3/4, por lo tanto, que convergen a

1 / (1 – 4/3) = 4 . Así que el área es (3/2) 4 = 6.

Segunda aproximación Después para los tres triángulos de base y altura 1, el resto de la superficie está compuesto por tres piezas – izquierda , derecha y arriba – cada uno una copia de toda la superficie reducida por un factor de 1/2 en cada dirección.

Denotemos por x el área de toda la superficie. A continuación, los tres pedazos más pequeños tienen cada área x / 4 y lo que el área satisface esta ecuación.

x = 3/2 + 3x / 4

Despejando x da x = 6 , de acuerdo con nuestro cálculo anterior.

Precaución Este cálculo sólo funciona si x es finito. Por ejemplo, si la inclinación de la superficie y doblado por lo tanto que era más de 2 dimensiones, x sería infinito. La ecuación que se muestra es válida para x infinito. Antes de resolver cualquier ecuaciòn, debemos tener cuidado de establecer que la solución es finito.

3. Primera aproximación

paso	número de cubos	longitud del lado del cubo
1	1	1
2	3	1/2
3	9	Cuarto
4	27	Octavo
	…
n	3 N-1	1/2 n-1

Aquí es una tabulación de los cubos.

Así que el volumen total es

1 + 3 (1/2)

3 + 9 (1/4) 3 + 27 (1/8) 3 + … + 3 N-1 (1/2 n-1 ) 3 + …= 1 + 3/8 + (3/8) 2 + (3/8) 3 + …

La suma es una serie geométrica con una relación de 3/8, por lo tanto, que converge a 1 / (1 – (3/8)) = 8/5.

Digamos que el volumen de toda la forma es x. Entonces vemosEn consecuencia, los tres ejemplares pequeños tienen volumen 1/8 del volumen de toda la forma.

x = 1 + 3 (x / 8)

Sabemos x es finito, ya que la forma completa está contenida en un cubo de longitud de lado 2. En consecuencia, podemos resolver esta ecuación para x, obteniendo x = 8/5.

TOMADO DE LA PÁGINA: https://profmate.wordpress.com/fractales-en-papel/

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